Дробные рациональные уравнения 9. Дробные рациональные уравнения

Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна с переменной в знаменателе.

Например:

\(\frac{9x^2-1}{3x}\) \(=0\)
\(\frac{1}{2x}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}=\frac{x^2-5x}{x+1}\)

Пример не дробно-рациональных уравнений:

\(\frac{9x^2-1}{3}\) \(=0\)
\(\frac{x}{2}\) \(+8x^2=6\)

Как решаются дробно-рациональные уравнения?

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать . И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

Выпишите и «решите» ОДЗ.

Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Запишите уравнение, не раскрывая скобок.

Решите полученное уравнение.

Проверьте найденные корни с ОДЗ.

Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.

Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.

Пример . Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)

Решение:

Ответ: \(3\).

Пример . Найдите корни дробно-рационального уравнения \(=0\)

Решение:

\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\) \(=0\) ОДЗ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac{-7+3}{2}=-2\) \(x_2≠\frac{-7-3}{2}=-5\)		Записываем и «решаем» ОДЗ. Раскладываем \(x^2+7x+10\) на по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Благо \(x_1\) и \(x_2\) мы уже нашли.
\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{(x+2)(x+5)}\) \(=0\)		Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение.
\(\frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + \frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-\) \(-\frac{(7-x)(x+2)(x+5)}{(x+2)(x+5)}\) \(=0\)		Сокращаем дроби
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Раскрываем скобки
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Приводим подобные слагаемые
\(2x^2+9x-5=0\)		Находим корни уравнения
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac{1}{2}.\)		Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.

Ответ: \(\frac{1}{2}\).

Новоселицкая МОУ СОШ №1

« Решение дробных рациональных уравнений».

Открытый урок в 9 А классе

Учитель математики Демиденко Н.Ю.

С. Новоселицкое 2015год.

Тема урока : Решение дробных рациональных уравнений .(Слайд 1)

Цели и задачи урока:

Образовательные:

закрепление понятия дробного рационального уравнения;

продолжить формирование умений решать дробные рациональные уравнения;

повторить решение линейных уравнений;

повторить решение квадратичных уравнений.

Развивающие:

развитие памяти обучающихся;

развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач;

развитие любознательности;

развитие логического мышления, внимания, умений анализировать, сравнивать и делать выводы;

развивать интерес к предмету.

Воспитательные:

формирование таких качеств личности, как ответственность, организованность, дисциплинированность, порядочность, правдивость;

содействовать формированию системы знаний, представлений, понятий;

воспитание познавательного интереса к предмету;

воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: закрепление изученного материала.

Форма проведения: урок-практикум.

Оборудование урока: ПК, проектор, файл MS Excel , содержащий тестовые задания, презентация.

Проверка домашнего задания

ОТВЕТЬ НА ВОПРОСЫ (Слайд 2)

сколько модулей в тесте ОГЭ? Какие это модули?

Сколько баллов нужно набрать для успешного прохождения экзамена?

Сформулируйте тему нашего урока.

«Решение уравнений» (Слайд 3)

продолжи предложение:

уравнением называется….

корнем уравнения называется…

Устный счет (Слайд 4)

1) х+3=0;

2) 3(х-7)=0 ;

3) х(х-1)(х+3)(х-9)=0;

4) х³-9х=0;

5) 7х²=0;

6) х²-5=0;

7) -7х²=28.

ПОВТОРИМ (Слайд 5)

1. Как называется данное уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение?

2. Скажите, какой степени это уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение?

3. Скажите, какой степени это уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение? (х 3 – 1) 2 + х 5 – х 6 = 2

4. Как называется данное уравнение?

5. Как найти степень целого уравнения? (х 3 – 3) 2 + 5х 2 = 0

ПРОДОЛЖИТЬ ФРАЗУ (Слайд 6)

Квадратное уравнение имеет 2 корня, если……

Квадратное уравнение имеет 2 равных корня (или один корень) , если……

Квадратное уравнение не имеет корней, если……

Область допустимых значений дробно-рационального уравнения это…..

УКАЖИТЕ ОДЗ УРАВНЕНИЙ (Слайд 7)

а) 2(1-х²) +3х -4 =0;

б) х - 3 = х² - х +1 ;

4 2

в) х² - х - 7 = х +8;

г) 2х - 4 = 3__;

х² +1 х +1

д) 3х + 1 = х;

х -1

Запомни алгоритмы решения уравнений! (Слайд 8)

Уравнение y ( x ) =0 называют дробным рациональным уравнением , если выражение y ( x ) является дробным

(т.е. содержит деление на выражение с переменными). (Слайд 9)

Алгоритмы решения дробных рациональных уравнений! (Слайд 10)

Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

Решить получившееся уравнение.

5. Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения

Пример №1: (Слайд 11,12)

(Слайд 13) Пример № 2: Ким Вариант № 6, задание № 21

(х-2)(х 2 +8х+16) = 7(х+4)

(Слайд 14) ФИЗКУЛЬТМИНУТКА для глаз

(Слайд 15-19) Самостоятельная тестовая работа

1.Среди данных уравнений выберите то, которое не является дробным рациональным:

1) ;

3) .

(3)

2.При каких значениях переменной х уравнение не имеет смысла:

1) -2;

2) -2 и -1;

3) всегда имеет смысл.

(Слайд 20) Учитель: Проверьте свой результат (на экран выводится таблица с правильными ответами).

Давайте сверим ответы с ответами на доске. На листочках ставим «+» или «-», в зависимости от правильности выполнения. Поставьте себе оценки:

все сделано правильно – «5»;

одна ошибка – «4»;

сделано две ошибки - «3»;

выполнено менее 3-х заданий – «2».

(Слайд 21) Домашнее задание

Тесты

Вариант 20-30 № 4 (уравнения)

А закончить наш урок хотелось бы словами великого ученого А.Эйнштейна: «Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

(Слайд 22) Самостоятельная работа

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Дробные рациональные уравнения Подготовила: учитель математики МОУ сош №30 имени А.И.Колдунова Кутоманова Е.М. 2010-2011 учебный год

Условие равенства дроби нулю При каком значении переменной дробь равна нулю? Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель при этом нулю не равен. х³-25х=0, х(х²-25)=0, х=0, х=±5. Если х=0, то х²-6х+5≠0, если х=-5, то х²-6х+5≠0, если х=5,то х²-6х+5=0. Ответ: при х=0, х=-5. Выполним №288(а,б)

Решим уравнение х³-25х=0, х(х²-25)=0, х=0, х=±5. Если х=0, то х²+6х+5≠0, если х=-5, то х²+6х+5=0, если х=5,то х²+6х+5 ≠ 0. Ответ: 0;5. Выполним №289(а)

Определение Дробным рациональным уравнением называют уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причём хотя бы одно из них – дробным выражением. Например:

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений 1.Находим общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. 2.Умножаем обе части уравнения на этот знаменатель. 3.Решаем получившееся целое уравнение. 4.Исключаем из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дробей. 5.Записываем ответ.

Решим уравнение: х-1 – общий знаменатель. Умножим обе части уравнения на х-1, получим 2(х-1)-(х+1)=0; 2х-2-х-1=0, х-3=0, х=3. Если х=3, то х-1=3-1=2 ≠0. Ответ:3

Решим уравнение: Решение. (х+2)(х-3) – общий знаменатель. Умножим обе части уравнения на (х+2)(х-3), получим (х-1)(х-3)=(х-4)(х+2)- (х+2)(х-3), х²-х-3х+3=х²-4х+2х-8-х²-2х+3х+6, х²-3х+5=0, D =9-20

Решим уравнение Общий знаменатель х-3. Умножим обе части уравнения на х-3, получим (х-2)(х-3)-(х-3)=0, х²-2х-3х+6-х+3=0, х²-6х+9=0, (х-3)²=0, х=3. Если х=3, знаменатель обращается в нуль, значит, х=3-посторонний корень. Ответ: корней нет

Решим уравнение Решение. Умножим обе части уравнения на х-2, получим 2х²-(3х+2)=х(х-2), 2х²-3х-2=х²-2х, 2х²-3х-2-х²+2х=0, х²-х-2=0, D =1+8=9, х=(1±3):2, х₁=-1, х₂=2. Если х=-1, х-2=-1-2=-3≠0; если х=2, то х-2=2-2=0 . Ответ: -1.

Дробные рациональные уравнения (9 класс)

Учитель математики Климочкина Г.Н.

Цель: продолжить формирование умения решать дробно-рациональные уравнения, используя алгоритм, известный учащимся из курса 8 класса.

Ход урока

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку, проверка присутствующих, общий настрой на урок.

Сегодня на уроке мне хотелось бы пригласить поглубже заглянуть в замечательный мир математики – в мир уравнений, в мир поиска, в мир исследований.

Девиз урока: Силу уму придают упражнения, а не покой. ( Александр Поуп)

Запишите: число, классная работа, тему урока «Дробные рациональные уравнения».

II. Объяснение нового материала.

Объяснение материала проводится в несколько э т а п о в.

1. И з у ч е н и е п о н я т и я дробно-рационального уравнения. Усвоение данного понятия проверяется при решении упражнения на распознавание этого вида уравнений.

З а д а н и е.

1). Какие из следующих уравнений являются дробно-рациональными? Ответ объясните.

а) ; г) ;

б) ; д) ;