Так называются уравнения вида, где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.

Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида. Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x) и

а(х) g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.

Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:

а(х) = О f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет

а(х) = 1 . Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.

а(х) = -1 . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет

При и решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.

Примеры решения показательно-степенных уравнений.

Пример №1.

1) x - 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 3 2 > 0, то x 1 = 3 - это решение.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x 3 = 1.

4) x - 3 ? 0 и x ? ± 1. x = x 2 , x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 -верно это решение x 4 = 0. При x = 1, (-2) 1 = (-2) 1 - верно это решение x 5 = 1.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

Пример №2.

По определению арифметического квадратного корня: x - 1 ? 0, x ? 1.

1) x - 1 = 0 или x = 1, = 0, 0 0 это не решение.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.

Д = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - корней нет.

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

На данном уроке мы рассмотрим решение более сложных показательных уравнений, вспомним основные теоретические положения касательно показательной функции.

1. Определение и свойства показательной функции, методика решения простейших показательных уравнений

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция - это функция вида , где основание степени и Здесь х - независимая переменная, аргумент; у - зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции :

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при возрастает, при убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности. При наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно.

2. Решение типовых показательных уравнений

Напомним, как решать простейшие показательные уравнения. Их решение основано на монотонности показательной функции. К таким уравнениям сводятся практически все сложные показательные уравнения.

Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью.

Методика решения:

Уравнять основания степеней;

Приравнять показатели степеней.

Перейдем к рассмотрению более сложных показательных уравнений, наша цель - свести каждое из них к простейшему.

Освободимся от корня в левой части и приведем степени к одинаковому основанию:

Для того чтобы свести сложное показательное уравнение к простейшим, часто используется замена переменных.

Воспользуемся свойством степени:

Вводим замену. Пусть , тогда

Умножим полученное уравнение на два и перенесем все слагаемые в левую часть:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его. Получаем:

Приведем степени к одинаковому показателю:

Вводим замену:

Пусть , тогда . При такой замене очевидно, что у принимает строго положительные значения. Получаем:

Решать подобные квадратные уравнения мы умеем, выпишем ответ:

Чтобы удостовериться в правильности нахождения корней, можно выполнить проверку по теореме Виета, т. е. найти сумму корней и их произведение и сверить с соответствующими коэффициентами уравнения.

Получаем:

3. Методика решения однородных показательных уравнений второй степени

Изучим следующий важный тип показательных уравнений:

Уравнения такого типа называют однородными второй степени относительно функций f и g. В левой его части стоит квадратный трехчлен относительно f с параметром g или квадратный трехчлен относительно g с параметром f.

Методика решения:

Данное уравнение можно решать как квадратное, но легче поступить по-другому. Следует рассмотреть два случая:

В первом случае получаем

Во втором случае имеем право разделить на старшую степень и получаем:

Следует ввести замену переменных , получим квадратное уравнение относительно у:

Обратим внимание, что функции f и g могут быть любыми, но нас интересует тот случай, когда это показательные функции.

4. Примеры решения однородных уравнений

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда :

Получаем:

Вводим замену: (согласно свойствам показательной функции)

Получили квадратное уравнение:

Определяем корни по теореме Виета:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его, получаем:

Воспользуемся свойствами степени и приведем все степени к простым основаниям:

Несложно заметить функции f и g:

1º. Показательными уравнениями называют уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

Решение показательных уравнений основано на свойстве степени: две степени с одним и тем же основание равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

2º. Основные способы решения показательных уравнений :

1) простейшее уравнение имеет решение ;

2) уравнение вида логарифмированием по основанию a сводят к виду ;

3) уравнение вида равносильно уравнению ;

4) уравнение вида равносильно уравнению .

5) уравнение вида через замену сводят к уравнению , а затем решают совокупность простейших показательных уравнений ;

6) уравнение со взаимно обратными величинами заменой сводят к уравнению , а затем решают совокупность уравнений ;

7) уравнения, однородные относительно a g (x) и b g (x) при условии вида через замену сводят к уравнению , а затем решают совокупность уравнений .

Классификация показательных уравнений.

1. Уравнения, решаемые переходом к одному основанию .

Пример 18. Решить уравнение .

Решение: Воспользуемся тем, что все основания степеней являются степенями числа 5: .

2. Уравнения, решаемые переходом к одному показателю степени .

Эти уравнения решаются преобразованием исходного уравнения к виду , которое использованием свойства пропорции приводится к простейшему.

Пример 19. Решить уравнение:

3. Уравнения, решаемые вынесением общего множителя за скобки .

Если в уравнении каждый показатель степени отличается от другого на некоторое число, то уравнения решаются вынесением за скобки степени с наименьшим показателем.

Пример 20. Решить уравнение .

Решение: Вынесем в левой части уравнения степень с наименьшим показателем за скобки:

Пример 21. Решить уравнение

Решение: Сгруппируем отдельно в левой части уравнения слагаемые, содержащие степени с основанием 4, в правой части – с основанием 3, затем вынесем степени с наименьшим показателем за скобки:

4. Уравнения, сводящиеся к квадратным (или кубическим) уравнениям .

К квадратному уравнению относительно новой переменной y сводятся уравнения:

а) вида подстановкой , при этом ;

б) вида подстановкой , при этом .

Пример 22. Решить уравнение .

Решение: Сделаем замену переменной и решим квадратное уравнение:

.

Ответ: 0; 1.

5. Однородные относительно показательных функций уравнения.

Уравнение вида является однородным уравнением второй степени относительно неизвестных a x и b x . Такие уравнения сводятся предварительным делением обеих частей на и последующей подстановкой к квадратным уравнениям.

Пример 23. Решить уравнение .

Решение: Разделим обе части уравнения на :

Положив , получим квадратное уравнение с корнями .

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений . Из первого уравнения находим, что . Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значения x .

Ответ: -1/2.

6. Рациональные относительно показательных функций уравнения .

Пример 24. Решить уравнение .

Решение: Разделим числитель и знаменатель дроби на 3 x и получим вместо двух – одну показательную функцию:

7. Уравнения вида .

Такие уравнения с множеством допустимых значений (ОДЗ), определяемым условием , логарифмированием обеих частей уравнения приводятся к равносильному уравнению , которые в свою очередь равносильны совокупности двух уравнений или .

Пример 25. Решить уравнение: .

.

Дидактический материал.

Решите уравнения:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Найдите произведение корней уравнения .

27. Найдите сумму корней уравнения .

Найдите значение выражения:

28. , где x 0 – корень уравнения ;

29. , где x 0 – целый корень уравнения .

Решите уравнение:

31. ; 32. .

Ответы: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5. 0; 6. 0; 7. -2; 8. 2; 9. 1, 3; 10. 8; 11. 5; 12. 1; 13. ¼; 14. 2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17. 0; 18. 1; 19. 0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23. 4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27. 3; 28. 11; 29. 54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Тема №8.

Показательные неравенства.

1º. Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным неравенством.

2º. Решение показательных неравенств вида основано на следующих утверждениях:

если , то неравенство равносильно ;

если , то неравенство равносильно .

При решении показательных неравенств используют те же приемы, что и при решении показательных уравнений.

Пример 26. Решить неравенство (методом перехода к одному основанию ).

Решение: Так как , то заданное неравенство можно записать в виде: . Так как , то данное неравенство равносильно неравенству .

Решив последнее неравенство, получим .

Пример 27. Решить неравенство: (методом вынесения общего множителя за скобки ).

Решение: Вынесем за скобки в левой части неравенства , в правой части неравенства и разделим обе части неравенства на (-2), поменяв знак неравенства на противоположный:

Так как , то при переходе к неравенству показателей знак неравенства опять меняется на противоположный. Получаем . Таким образом, множество всех решений данного неравенства есть интервал .

Пример 28. Решить неравенство (методом введения новой переменной ).

Решение: Пусть . Тогда данное неравенство примет вид: или , решением которого является интервал .

Отсюда . Поскольку функция возрастает, то .

Дидактический материал.

Укажите множество решений неравенства:

1. ; 2. ; 3. ;

6. При каких значениях x точки графика функции лежат ниже прямой ?

7. При каких значениях x точки графика функции лежат не ниже прямой ?

Решите неравенство:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Укажите наибольшее целое решение неравенства .

14. Найдите произведение наибольшего целого и наименьшего целого решений неравенства .

Решите неравенство:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Найдите область определения функции:

27. ; 28. .

29. Найдите множество значений аргумента, при которых значения каждой из функций больше 3:

и .

Ответы: 11. 3; 12. 3; 13. -3; 14. 1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U{5}; 28. }